APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

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Funciones

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Vectores

Antes de comenzar a desglozar el tema veamos que es un vector:

En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos.

El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales. Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.

Video Educativo: Vectores

Que es una Funcion

En matemáticas, una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:

El término función se utiliza a menudo cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una

Video Educativo : Funciones

Donde aplicamos una funcion Vectorial

¿Donde se puede aplicar una funcion vectorial?


Las funciones vectoriales( o el analisis vectorial) tiene un amplio uso en los fenomenos de transporte (esto es, mecanica de fluidos, transferencia de masa y de calor) y en la parte de campos electromagneticos. (fisica) y matematicas

En matematicas, función vectorial:

R(t) = < f(t), g(t)> = f(t)î + g(t)j

donde R es un vector; î, j los vectores unitarios cartesianos.

Ejemplo:

R(t)= 2 cost î + 2 sent j

función escalar de varias variables:

f(x) = f(x1,...xn) = t

aquí f(x) es la función escalar que asigna a un elemento x (vector) un elemento t (escalar).

Funciones Vectoriales

Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.

Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:

 es el intervalo (0, 1]

 

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Video Educativo: Funciones Vectoriales

Por el Dr. Eduardo Suger

http://medialab.galileo.edu/suger/index.html

EJEMPLO

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Curvas en el espacio y funciones vectoriales

En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares ordenados (f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas

x = f (t) e y = g (t);

donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas (f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas

x = f (t) , y = g (t) y z = h (t)

Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I.

Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales. Aplican los números reales en vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.

Ejercicios (Trazado de una curva en el plano)

EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial

Solución:

EJEMPLO 2: 

Dibujar la curva representada por la función vectorial

Solución:

Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra, que cuando t crece de 0 a 4π el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia arriba, describiendo una hélice

EJEMPLO 3: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dada por:

x = 2 + t,       y = 3t       y      z = 4 - t

  Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta es inmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la función vectorial

r (t) = (2 + t)i + 3tj + (4 – t)k

Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión, el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas